Dominó

El otro día tenía muchas cosas qué hacer pero como casi siempre me pasa decidí no hacerlas y me puse a jugar dominó y a platicar trivialidades con un viejo amigo. Estábamos esperando a que llegaran los demás y aprovechábamos el tiempo jugando partidas uno contra uno. Para hacerlo más interesante mi amigo me pidió que lo hiciéramos a cien puntos. Empezábamos la primera ronda cuándo me contó que alguna vez le había ganado a alguien en una sola partida. Desde luego dudé de la veracidad de su comentario y lo primero que pensé fue si la suma de todos lo puntos de las fichas podía dar como resultado más de cien puntos. Se lo pregunté. Naturalmente me dijo que sí y que incluso podíamos sumarlas ahí mismo si eso calmaba mi duda.

Había empezado a sumar una a una las fichas, lo que me pareció bastante salvaje y por ello decidí llamarle a esta forma de resolver el problema, el método salvaje. Por supuesto que se puede llegar al resultado correcto de esta forma, quizá se cometa algún error por distracción pero después de dos o tres conteos se hubiera podido asegurar que el resultado era el correcto. No obstante, nosotros éramos estudiantes de ingeniería y aún más, bastante holgazanes, así que me pareció un disparate hacer el conteo de esa forma.

En ese momento llegó a mi mente una anécdota acerca de un célebre genio matemático llamado Federico Gauss, que según la leyenda, un día su maestro de primaria teniendo flojera de dar clases y confiando en la inocencia de sus alumnos les había puesto a sumar todos los números del uno al cien. Gauss prefirió ahorrarse trabajo pensando un poquito antes de empezar a sumar a lo loco, así que agrupó los números de tal manera que los sumó así:

1+99+2+98+3+97+4+96+...+49+51+50+100 = 100+100+100+...+100+50+100= 49*100+150=5050.

Utilicé este método al que llamé método de Gauss, que adaptado al dominó consistiría en agrupar las fichas en conjuntos de doce, es decir: 0:0 con 6:6, 0:1 con 6:5, 0:2 con 6:4,..., 2:4 con 3:3; con lo que al juntarlos me resultaron 14 grupos de 12, esto es: 14*12=168.

Con esto ya estaba resuelto el problema, pero yo no llevé un año de cálculo en la preparatoria y otro más en la universidad para luego no utilizarlo. Así que decidí hacer una función tal que yo le diera el número de ficha y me regresara la suma de los puntos en la ficha. Para empezar decidí que la ficha de menor valor (la 0:0), iba a asignarle el número 0, a la 0:1 el número 1, a la 1:1 el 2, a la 0:2 el 3 y así sucesivamente hasta darle el número de ficha 27 a la 6:6. Con lo que f(0)=0, f(1)=1, f(2)=1,..., f(27)=12. Hacer la suma con esta función es de nuevo el método salvaje. En este punto recordé que una integral es como una suma pero con cantidades infinitesimales. El problema es que esta función es discreta, pero esto se soluciona porque se puede convertir a una función continua si se le aplica un retenedor de orden cero, esto es, que el valor de la función sea constante hasta que otro valor sea definido. De esta forma, en el intervalo [0,1), el valor de la función sería 0, en el intervalo [1,2) sería 1 y así sucesivamente hasta el intervalo [27,28) donde la función sería igual a 12. Ahora, como buen ingeniero, aproximé esta función con una línea recta (si los convertidores A/D hacen lo contrario, ¿por qué yo no podía hacer esto?). La recta que utilicé para aproximar la función fue f(x) = (3/7)*x. Para encontrar valores específicos era bastante mala, pero lo importante de esta aproximación es que el error resultó ser simétrico, es decir, que los errores positivos y los negativos se cancelaban mutuamente. Con estas consideraciones, la suma de los puntos de todas las fichas es simplemente la integral de 0 a 28 de (3/7)*x*dx, que es 168. A esta forma de resolver el problema le llamé el método integral.

Analicé los métodos: el método salvaje tenía la ventaja de no realizar esfuerzo mental alguno, pero era poco confiable y tardado; el método de Gauss era seguro y rápido, pero era necesario tener las fichas a la mano o ponerse a dibujarlas todas; el método integral era más complejo y requería de suposiciones no muy correctas en el sentido estricto, pero no se necesitaban ni las fichas presentes, ni dibujarlas.

Estaba comentando esto con otro amigo (también estudiante de ingeniería), cuando me dejó anonadado con un cuarto método: si se toman las fichas como dos partes separadas se puede notar que sólo hay ocho 1's en total: 0:1, 1:1, 2:1, 3:1, 4:1, 5:1 y 6:1, al igual que ocho 2's, 3's,... hasta el 6 (obviamente también ocho 0's, pero el cero no cuenta). Entonces la suma se reduce a 8*1+8*2+8*3+...+8*6=suma (N=1 hasta 6) de 8*N=8*(1+2+3+4+5+6)=8*21=168. A esta solución le llamé el método elegante.

Como conclusiones puedo decir que: (1) la hueva mueve montañas. (2) Para un mismo problema se pueden encontrar muchas soluciones, mismas que implican seguir un método. Este método puede ser el menos óptimo por lo que conviene analizar siempre otras opciones. (3) Pensar antes de actuar puede ahorrar horas o incluso meses de trabajo. (4) La definición más apropiada para solución elegante, es “la que a uno le hubiera gustado encontrar”.

Giles